Programma del corso di MATEMATICA (Prof. Tullio CECCHERINI-SILBERSTEIN)


I. INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI
Cenni di teoria degli insiemi. Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali (irrazionalita' di radice di due), reali (assiomi dei numeri reali; massimi, minimi, estremi superiore ed inferiore).
Funzioni e loro rappresentazione cartesiana (funzioni iniettive, suriettive, biettive, monotone, invertibili).
Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni e formula del binomio di Newton.
Il principio di induzione.
I numeri complessi: rappresentazioni algebrica, geometrica, trigonometrica, esponenziale; radici n-sime e formule di de Moivre e di Eulero.


II. SUCCESSIONI E LORO LIMITI
Definizioni di successione. Definizione di limite. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Teoremi di confronto. Limiti notevoli. Successioni monotone. Il numero "e" di Nepero. Successioni estratte (sottosuccessioni) e teorema di Bolzano-Weiersrtass.


III. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE: LIMITI E CONTINUITA'

Definizione di limite (per successioni e con epsilon/delta. Operazioni con i limiti (compresa la composizione).
Definizione di continuita' (puntuale e in un insieme). Discontinuita' (eliminabile/non-eliminabile). Teoremi della
permanenza del segno, dei valori intermedi e di Weierstrass. Continuita' funzioni monotone e inverse.


IV DERIVATE E APPLICAZIONI

Definizione di derivata. Interpretazione geometrica (coefficiente angolare della retta tangente).
Applicazioni alla meccanica, economia, etc.
Operazioni con le derivate. Derivazione delle funzioni composte e delle fuzioni inverse. Derivate di funzioni elementari.
Massimi e minimi relativi e Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Funzioni crescenti e decrescenti.
Convessita' e concavita'. Le regole di de l'Hopital. Studio del grafico di una funzione. Metodo (delle tangenti) di Newton.
Formula di Taylor [dopo gli integrali]: resti di Peano, integrale, di Lagrange; infinitesimi e loro confronto; approssimazione numerica di pi greco e del numero "e" di Nepero.



V INTEGRALI

Integrali definiti: metodo di esaustione di Archimede, funzioni integrabili secondo Riemann, proprieta' fondamentali;
teorema della media; integrabilita' delle funzioni continue (cenni).
Primitive e teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrali indefiniti. Metodi di integrazione: per parti e tabulazione, per sostituzione, per  decomposizione in somma, delle funzioni razionali. Calcolo dell'area di figure piane. Integrali impropri.



VI SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI

Serie numeriche; carattere, serie convergenti/indeterminate/divergenti; criterio della coda.
Serie a termini non negativi. Le serie geometrica, armonica, armonica generalizzata.
Criteri di convergenza: criterio di condensazione di Cauchy, del confronto, del confronto asintotico, criterio integrale, criterio del rapporto, cirterio della radice.
Serie a segni alterni (teorema di Leibnitz). Convergenza assoluta.
Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme.  
Teoremi di passaggio al limite sotto i segni di integrale e di derivata.
Serie di potenze (intervallo di convergenza, teorema di D'Alembert). Serie di Taylor. Cenni sulle serie di Fourier.


VII FUNZIONI DI DUE VARIABILI

Lo spazio R^2 ed elementi di topologia elementare: insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti, connessi.
Funzioni reali di due variabili reali: dominio, limiti, continuita', derivate parziali, derivate successive (teorema di Schwarz), differenziabilita' (teorema del differenziale),  gradiente (significato geometrico, derivate direzionali, linee di gradiente e curve di livello;  funzioni a gradiente nullo in un connesso), funzioni di classe C^k(A), funzioni composte, formula di Taylor e applicazioni  (massimi e minimi relativi, punti di sella).
Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.


VIII EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Definizione di equazione differenziale ordinaria: integrale indefinito, integrale generale, equazioni alle derivate
parziali, forma normale (cenni al teorema di invertibilita' del Dini) e problema di Cauchy.
Applicazioni alla dinamica delle popolazioni e all'economia.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine (omogenee e non).
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine (omogenee e non).
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n: polinomio caratteristico, alcuni metodi risolutivi per la ricerca delle soluzioni particolari.
Il teorema di Cauchy di esistenza ed unicita' (senza dimostrazione: commenti ed esempi).



IX INTEGRALI CURVILINEI, FORME DIFFERENZIALI ED INTEGRALI DOPPI

Curve regolari (piane): lunghezza, orientazione, ascissa curvilinea, integrali curvilinei di campi sacalari (funzioni).
Forme differenziali:  integrale curvilineo, forme chiuse, esatte, teoremi di caratterizzazione delle forme esatte
(insiemi stellati, semplicemente connessi).
Domini normali. Integrali su domini normali. Teorema di riduzione per gli integrali doppi. Formule di Gauss-Green.
Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Cambiamento di variabili negli integrali doppi: Jacobiano e sua
interpretazione geometrica, coordinate polari.